
\documentclass[swedish,a4paper,11pt,onesided]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[swedish]{babel}
\usepackage{alltt,epsfig,fancyhdr,url, amsfonts, amsmath, esint}

\begin{document}

% Fix the bold (etc) tt fonts.

\newcommand{\btt}{\ttfamily\bfseries}
\renewcommand{\ttdefault}{pcr}

% Enumerating should be done 1.2.3.4

\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumi}.\arabic{enumii}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumiv}{\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic{enumiii}.\arabic{enumiv}}

% Algorithm description
\newcommand{\balg}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\ealg}{\end{enumerate}}
\newcommand{\lra}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\ointcw}{\ointctrclockwise}
\newcommand{\beq}{\begin{equation*}}
\newcommand{\eeq}{\end{equation*}}
\newcommand{\bal}{\begin{align*}}
\newcommand{\eal}{\end{align*}}

% Acknowledgements looks like this. FIXME

\newcommand{\backn}{\begin{description}}
\newcommand{\eackn}{\end{description}}

\newcommand{\ackn}[2]{\item{#1} #2}

\newcommand{\bitem} {\begin{itemize}}
\newcommand{\eitem} {\end{itemize}}

% Who, what, where etc:
\def\author			{Camilla Westrin}
\def\email			{ayrin@acc.umu.se}
\def\course			{Komplex analys}
%d\def\delivery			{Första Inlämningen}
%\def\trivialname		{Samtliga labbar}
% Headers and footers
\headrulewidth 0pt
\pagestyle{fancy}
\lhead{\course\\\author}
\footrulewidth 0.5pt
\rfoot{\today}
%\lfoot{{\bf \delivery}}

% Titlepage
\begin{titlepage}
\begin{center}
%	\Huge \trivialname \\
        \vspace{10mm}
        \Large \course \\
        \vspace{20mm}
        %\huge \delivery \\
	\vspace{10mm}
        \large {\em \author}\\
	(\email) \\
        \vspace{10mm}
        \large \today \\
        \vspace{20mm}
	%\large $\sim${\tt tfy02cvn/edu/vr2/newtry}\\
	\vfill
\end{center}
\end{titlepage}

% 1
\section{}
\subsection{}
\beq
\ointcw_{\mid z\mid =2}{\frac{\sin 3z}{z-\frac{\pi}{2}}dz} = 2\pi i f(\frac{\pi}{2}) = 2\pi i \sin(\frac{3\pi}{2}) = -2\pi i
\eeq

\subsection{}
\beq
\ointcw_{\mid z\mid =2}{\frac{5z^2 + 2z +1}{(z-1)^3}dz} = \frac{2\pi i f^{(2)}(i)}{2!} = \frac{2\pi i 10}{2} = 10\pi i
\eeq

\subsection{}
\beq
\ointcw_{\mid z\mid =2}{\frac{sin(z)}{z^2(z-4)}dz} = \ointcw_{\mid z\mid=2}{\frac{\sin z/(z-4)}{z^2}} = \frac{2\pi i f^{(1)}(0)}{1!}= 2\pi i \frac{\cos(0)(0-4)-sin(0)}{(0-4)^2} = -\frac{\pi i}{2}
\eeq 

\subsection{}
\beq
\ointcw_{\Gamma}{ \frac{e^{iz}}{(z^2 + 1)^2}dz} = \ointcw_{\Gamma}{\frac{e^{iz}}{(z + i)^2 (z-i)^2}dz} =  \ointcw_{\gamma_1}{\frac{e^{iz}/(z + i)^2 }{(z-i)^2}dz} + \ointcw_{\gamma_2}{\frac{e^{iz}/(z - i)^2}{ (z+i)^2}dz}
\eeq
\\

\begin{align*}
%\ointcw_{\gamma_1}{\frac{e^{iz}/(z + i)^2 }{(z-i)^2}dz}
&\ointcw_{\gamma_1}{\frac{e^{iz}/(z + i)^2}{(z-i)^2}dz} = \frac{2\pi i f^{(1)}(i)}{n!} = \left ( \frac{2\pi i (ie^{iz}(z+i)^{-2} + e^{iz}(-2)(z+1)^{-3})}{1!} \right |_{z=i} =\\& 2\pi i \left (\frac{ie^{i*i}}{(i+i)^2}-\frac{2e^{i*i}}{(i+i)^3} \right ) = 2\pi i \left (\frac{ie^{-1}}{-4}-\frac{2e^{-1}}{-8i} \right ) = 2\pi i \left (\frac{e^{-1} + e^{-1}}{-4i} \right ) = \frac{\pi}{e^{1}}
\end{align*}
\\

\begin{align*}
&\ointcw_{\gamma_2}{\frac{e^{iz}/(z - i)^2}{(z+i)^2}dz} = \frac{2\pi i f^{(1)}(-i)}{1!} = \left ( \frac{2\pi i (ie^{iz}(z-i)^{-2} + e^{iz}(-2)(z-1)^{-3})}{1!} \right |_{z=-i} =\\& 2\pi i \left (\frac{ie^{-i*i}}{(-i-i)^2}-\frac{2e^{-i*i}}{(-i-i)^3} \right ) = 2\pi i \left (\frac{ie^{1}}{-4}-\frac{2e^{1}}{8i} \right ) = 2\pi i \left (\frac{e^{1} - e^{1}}{4i} \right ) = 0
\end{align*}
\\

\beq
\ointcw_\Gamma \frac{e^{iz}}{(z^2 + 1)^2}dz =  \frac{\pi}{e^{1}} + 0 =  \frac{\pi}{e^{1}}
\eeq

%2
\section{}

%3
\section{}
Om $f$ är analytisk i en domän $D$ och $\mid f(z) \mid$ har sitt maximumvärde i en punkt $z_0$ i $D$ så är $f$ konstant i $D$.
\\

Vi börjar med att visa att $\mid f\mid$ är konstant i $D$.\\

Om $\mid f\mid$ inte är konstant måste det finnas en punkt $z_1$ i $D$ där $\mid f(z_1)\mid < \mid f(z_0)\mid$ . Vi låter $\gamma$ vara en kontur som löper från $z_0$ till $z_1$. Eftersom $f$ är kontinuerlig i $D$ måste det någonstans längs $\gamma$ kunna hittas en punkt $w$ med följande egenskaper:\\

(i)  $\mid f(z)\mid = \mid f(z_0)\mid$ för alla $z$ på $\gamma$ innan (och inkluderande) $w$\\

(ii) Det kan hittas punkter på $\gamma$, godtyckligt nära $w$ där $\mid f(z)\mid <\mid f(z_0)\mid$
\\
Eftersom en domän är definierad som en öppen mängd kan vi alltid definiera en cirkel med sitt centrum i $w$ som är inom domänen $D$. Vi kan då, enligt Lemma 1 (s 217) säga att $\mid f(z)\mid $ är konstant på denna disk. Detta bestrider (ii) och gör att modulus av vår funktion är konstant. Enligt boken betyder detta att även $f$ är konstant.\\ 
Vad mera är, eftersom vi enligt detta inte kan hitta en punkt där vår kontinuerliga funktions värde övergår till ett annat då vi har ett maximumvärde inom vår domän måste $f$ vara konstant.


%4
\section{}
Eftersom $f^{(5)}: \mathbb{C}\ra\mathbb{C}$ är begränsad på $\mathbb{C}$ så kan vi definiera en cirkel runt en punkt $z_0$ där $f$ har sitt maximumvärde. Vi vet då, enligt Lemma 1 (s 217), att $f^{(5)}$ måste vara konstant. Ett polynom med gradtal högre än 5 hade kunnat deriveras fler gånger utan att bli konstant.


%5
\section{}
Låt \textit p vara ett polynom och $\Gamma$ en enkel, sluten och styckvis slät kurva med positiv orientering. Antag att \textit p inte har några nollställen på $\Gamma$. Visa att antalet nollställen hos \textit p innanför $\Gamma$ ges av 

\beq
\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma \frac{p'(z)}{p(z)}dz
\eeq

Vi skriver \textit p och \textit{p'} som:

\beq
p = (z+\xi_0)(z+\xi_1)...(z+\xi_{n-1})(z+\xi_n)
\eeq
\begin{align*}
p' = &(z+\xi_1) ... (z+\xi_{n-1})(z+\xi_n) + (z+\xi_0) ... (z+\xi_{n-1})(z+\xi_n) + \\&(z+\xi_0)(z+\xi_1)...(z+\xi_n) + (z+\xi_0)(z+\xi_1)...(z+\xi_{n-1})
\end{align*}

Vi får då följande $\frac{p'}{p}:

\begin{align*}
\frac{p'}{p} = & \frac{(z+\xi_1)...(z+\xi_{n-1})(z+\xi_n)}{(z+\xi_0)(z+\xi_1)...(z+\xi_{n-1})(z+\xi_n)} + \frac{(z+\xi_0)...(z+\xi_{n-1})(z+\xi_n)}{(z+\xi_0)(z+\xi_1)...(z+\xi_{n-1})(z+\xi_n)} + ... + \\& \frac{(z+\xi_0)(z+\xi_1)...(z+\xi_n)}{(z+\xi_0)(z+\xi_1)...(z+\xi_{n-1})(z+\xi_n)} + \frac{(z+\xi_0)(z+\xi_1)...(z+\xi_{n-1})}{(z+\xi_0)(z+\xi_1)...(z+\xi_{n-1})(z+\xi_n)} = \\& \frac{1}{(z+\xi_0)} +  \frac{1}{(z+\xi_1)} +...+\frac{1}{(z+\xi_{n-1})} + \frac{1}{(z+\xi_n)}
\end{align*}
Vi kan deformera $\Gamma$ till att beskriva cirklar (alla linjer, vilka förbinder cirklarna, dras i båda riktningar och integralerna över dem kommer därför ha värdet 0, så vi ignorerar dem helt enkelt) runt samtliga nollställen och kan därför skriva:

\begin{align*}
\frac{1}{2\pi i}\ointcw_\Gamma \frac{p'}{p} = & \frac{1}{2\pi i} \left ( \ointcw_{\gamma 1} \frac{1}{z+\xi_0} dz + \ointcw_{\gamma 2} \frac{1}{z+\xi_1} dz \right ) + ... + \\ \frac{1}{2\pi i}& \left ( \ointcw_{\gamma 3} \frac{1}{z+\xi_{n-1}} dz + \ointcw_{\gamma 4} \frac{1}{z+\xi_n} dz \right )
\end{align*}
Nu har varje delintegral över en kurva $\gamma_x$ en sådan form att vi kan nyttja Cauchys integralsats. Eftersom $f(z_0) = 1$ för alla delintegraler får vi att:
\beq
\frac{1}{2\pi i}\ointcw_\Gamma \frac{p'}{p}= \mbox{antalet nollställen för p}
\eeq 
\end{document}
